四元数上的幂级数与解析性

我们研究四元数环境下的幂级数与解析性。首先考虑一个函数 $f$，它被定义为以 $0$ 为中心的四元数幂级数在其收敛域（一个以 $0$ 为中心的球 $B(0,R)$）内的和。在该球的每一点 $p$ 处，$f$ 可以展开为适当定义的“以 $p$ 为中心的正则幂级数”。该展开式在球 $\Sigma(p, R-|p|)$ 中成立，该球是相对于一个（非欧几里得的）距离 $\sigma$ 定义的。因此，我们称 $f$ 在 $B(0,R)$ 中是“$\sigma$-解析的”。此外，我们注意到 $\Sigma(p, R-|p|)$ 并不总是 $p$ 的欧几里得邻域；当它是时，我们称 $f$ 在 $p$ 处是“四元数解析的”。结果表明，$f$ 仅在实轴附近是四元数解析的。然后，我们将这些解析性概念与在《Adv. Math.》216 (2007), 279-301 中引入并最近扩展的正则四元数函数类联系起来。事实上，$\sigma$-解析性被证明等价于正则性，正如复解析性等价于全纯性一样。因此，正在快速发展的正则四元数函数理论揭示了一个新的特征，它让人联想到全纯复函数的优良性质。