实交错 *-代数上的幂级数与球级数

我们研究实交错 $^*$-代数 $A$ 上的两类级数。第一类是形如 $\sum_{n} (x-y)^{\punto n}a_n$ 的级数，其中 $a_n$ 和 $y$ 属于 $A$，$(x-y)^{\punto n}$ 表示 $x-y$ 关于通常乘积的 $n$ 次幂，该乘积通过要求未定元 $x$ 与 $A$ 中元素交换而得到。在实数和复数情形下，幂级数的和分别定义了实解析函数和全纯函数。在四元数情形下，此类级数在其收敛集内部产生一个属于最近引入的切片正则函数类的函数。我们证明，在交错代数 $A$ 的一般框架下，幂级数的和也是切片正则函数。我们还考虑第二类级数，即球级数，其中幂被一个不同的切片正则多项式序列所替代。已知在四元数上，这些级数的收敛集是开集，而这一性质在幂级数情形下并不总是成立。我们刻画了任意交错 $^*$-代数 $A$ 上此类级数的收敛集。特别地，我们证明这些集合在 $A$ 的二次锥中总是开的。此外，我们证明每个切片正则函数在每一点都有球级数展开。