关于正函数平移级数 III

设 $\Lambda$ 是非负实数的离散无限集。若级数 $s(x)=\sum_{\lambda\in\Lambda}f(x+\lambda)$ 满足零一律，则称 ${\Lambda}$ 为 1 型。这意味着对任意非负可测 $f: { {\mathbb R}}\to [0,+ {\infty})$，要么收敛集 $C(f, {\Lambda})=\{x: s(x)<+ {\infty} \}= { {\mathbb R}}$ 模零测集，要么其补集发散集 $D(f, {\Lambda})=\{x: s(x)=+ {\infty} \}= { {\mathbb R}}$ 模零测集。若 ${\Lambda}$ 不是 1 型，则称其为 2 型。在本文中我们证明存在一个间隙单调递减趋于零的普适 ${\Lambda}$，使得对任意开子集 $G \subset { {\mathbb R}}$ 可找到特征函数 $f_{G}$，满足 $G \subset D(f_G, {\Lambda})$ 且 $C(f_G, {\Lambda})= { {\mathbb R}} {\setminus} G$ 模零测集。我们还考虑当 $D(f, {\Lambda})$ 具有正测度时，$C(f, {\Lambda})$ 对连续函数能否包含非退化区间的问题。上述结果回答了 Z. Buczolich、J-P. Kahane 和 D. Mauldin 一篇论文中提出的一些问题。