基于截断 Laguerre 级数的矩阵指数逼近

Laguerre 函数 $l_{n,\tau}^\alpha$, $n=0,1,\dots$, 由广义 Laguerre 多项式构造而成。函数 $l_{n,\tau}^\alpha$ 依赖于两个参数：尺度 $\tau>0$ 和广义化阶数 $\alpha>-1$，并在 $L_2[0,\infty)$ 中构成正交基。设方阵 $A$ 的谱位于开左半平面。则矩阵指数 $H_A(t)=e^{At}$, $t>0$, 属于 $L_2[0,\infty)$。因此，矩阵指数 $H_A$ 可展开为级数 $H_A=\sum_{n=0}^\infty S_{n,\tau,\alpha,A}\,l_{n,\tau}^\alpha$。本文提出了对该范数 $\Bigl\lVert H_A-\sum_{n=0}^N S_{n,\tau,\alpha,A}\,l_{n,\tau}^\alpha\Bigr\rVert_{L_2[0,\infty)}$ 的一个估计。讨论了在 $\tau$ 和 $\alpha$ 上求该估计最小值的问题。数值算例表明，最优的 $\alpha$ 通常几乎为 0，这在本质上简化了该问题。