最小二乘级数的新渐近理论：逐点与一致结果

在实际应用中，条件期望的确切形式往往是未知的，而采用灵活的函数形式可带来改进。级数方法通过使用 $k$ 个基函数逼近未知函数提供了这种灵活性，其中 $k$ 允许随样本量 $n$ 增长。我们基于以下方面考察条件均值的级数估计量：(i) 源自非交换 Khinchin 不等式的矩阵 sharp LLNs；(ii) 控制逼近误差 $L^\infty$ 范数与 $L_2$ 范数之比的 Lebesgue 因子的界；(iii) 针对熵积分发散过程的最大不等式；以及 (iv) 级数型过程的强逼近。这些技术工具使我们能够对级数文献，特别是 Newey (1997) 的开创性工作做出如下贡献。首先，我们将级数估计中所用逼近函数数量 $k$ 的条件从典型的 $k^2/n \to 0$ 放宽至 $k/n \to 0$（相差对数因子），此前该结果仅适用于样条级数。其次，我们在逼近误差消失的情况下推导了 $L_2$ 收敛率和逐点中心极限定理结果；在模型设定错误（即逼近误差不消失）的情况下，也展示了类似结果。第三，在更强条件下，我们推导了无论逼近误差是否消失均成立的一致收敛率和泛函中心极限定理。也就是说，我们推导出了非参数函数整个估计量的强逼近。我们为条件期望函数的广泛线性泛函推导了一致收敛率、高斯逼近和一致置信带。