广义 Hermite-Laguerre 多项式的不可约性 III

对于正整数 $n$ 和实数 $\alpha$，广义 Laguerre 多项式定义为 \begin{align*} L^{(\alpha)}_n(x)=\sum^n_{j=0}\frac{(n+\alpha)(n-1+\alpha)\cdots (j+1+\alpha)(-x)^j}{j!(n-j)!}. \end{align*} 这些正交多项式是 Laguerre 微分方程的解，该方程出现在量子力学中谐振子的处理中。Schur 研究了这些 Laguerre 多项式有趣的代数性质。他获得了 $L^{(\pm \frac{1}{2})}_n(x)$ 和 $L^{(\pm \frac{1}{2})}_n(x^2)$ 的不可约性结果，并推导出 Hermite 多项式 $H_{2n}(x)$ 和 $\frac{H_{2n+1}(x)}{x}$ 对每个 $n$ 都是不可约的。在本文中，我们通过证明 Laguerre 多项式族 $L^{(q)}_n(x)$ 和 $L^{(q)}_n(x^d)$（其中 $q\in \{\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}\}$，$d$ 为 $q$ 的分母）对每个 $n$ 都是不可约的，从而推广了 Schur 的结果；例外情况是 $q=\frac{1}{4}, n=2$，对此我们给出了完整的因式分解。事实上，这一结果源自一个更一般的结论。