论舒尔不可约性结果及广义$\phi$-埃尔米特多项式

设$c$为固定整数且$c \in \{0,2\}$。设$n$为正整数，使得当$c=0$时$n\geq 2$，否则$2n+1 \neq 3^u$对任意整数$u\geq 2$成立。设$\phi(x) \in \mathbb{Z}[x]$为首一多项式且在所有小于$2n+c$的素数模下不可约。设$0\leq i\leq n-1$时$a_i(x) \in \mathbb{Z}[x]$为次数小于$\deg\phi(x)$的多项式。设$a_n \in \mathbb{Z}$且$(a_na_0(x))$的内容不被任何小于$2n+c$的素数整除。对正整数$j$，若$u_j$表示$\leq j$的奇数之积，则我们证明多项式$\frac{a_{n}}{u_{2n+c}}\phi(x)^{2n}+\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j(x)\frac{\phi(x)^{2j}}{u_{2j+c}}$在有理数域$\mathbb{Q}$上不可约。这推广了舒尔的一个著名结果，即多项式$\sum\limits_{j=0}^{n}a_j\frac{x^{2j}}{u_{2j+c}}$（其中$a_j \in \mathbb{Z}$且$|a_0| = |a_n| = 1$）在$\mathbb{Q}$上不可约。我们通过例子说明我们的结果。