舒尔不可约性结果的一个推广

设$n\geq 2$为整数。设$\phi(x)\in\mathbb{Z}[x]$为对所有小于等于$n$的素数均模不可约的首一多项式。设$a_0(x), a_1(x), \dots, a_{n-1}(x)\in\mathbb{Z}[x]$为次数均小于$\deg \phi(x)$的多项式，且$a_n$为整数。假设$a_n$与$a_0(x)$的内容与$n!$互素。在本文中，我们证明多项式$\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_i(x)\frac{\phi(x)^i}{i!}+a_n\frac{\phi(x)^n}{n!}$在有理数域$\mathbb{Q}$上不可约。这推广了Schur的著名结果，该结果指出当每个$a_i\in \mathbb{Z}$且$|a_0|=|a_n|=1$时，多项式$\sum\limits_{i=0}^{n} a_i\frac{x^i}{i!}$对所有$n\geq 1$在$\mathbb{Q}$上不可约。本文还推广了Filaseta的一个结果，从而导出对经典Schönemann不可约性判据的推广。