关于扩展拉盖尔多项式的不可约性

设 $m\geq 1$ 且 $a_m$ 为整数。设 $\alpha$ 为非负整数的有理数，使得 $\alpha = \frac{u}{v}$ 且 $\gcd(u,v) = 1, v>0$。设 $\phi(x) \in \Z[x]$ 为在所有小于等于 $vm+u$ 的素数模下不可约的首一多项式。设 $0\leq i\leq m-1$ 时的 $a_i(x) \in \Z[x]$ 为次数小于 $\deg\phi(x)$ 的多项式。假设 $(a_ma_0(x))$ 的内容不被任何小于等于 $vm+u$ 的素数整除。本文中，我们证明多项式 $L_{m,\alpha}^{\phi}(x) = \frac{1}{m!}(a_m\phi(x)^m+\sum\limits_{j=0}^{m-1}b_ja_j(x)\phi(x)^j)$ 对除有限多个 $m$ 外的所有 $m$ 在有理数上不可约，其中 $b_j = \binom{m}{j}(m+\alpha)(m-1+\alpha)\cdots (j+1+\alpha)~~~\mbox{ 对 }0\leq j\leq m-1$。进一步，我们证明对每个 $\alpha \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$，$L_{m,\alpha}^{\phi}(x)$ 在有理数上不可约，除非 $(m, \alpha) \in \{ (1,0), (2,2), (4,4),(6,4)\}$。为证明我们的结果，我们使用了 $\phi$-牛顿多边形概念和解析数论中的一些结果。我们通过例子说明了我们的结果。