线性组合的拉盖尔多项式的零点

我们研究由 $K+1$ 连续个归一化拉盖尔多项式的形式 $$q_n(x)=\sum_{j=0}^K\gamma_j\tilde L^\alpha_{n-j}(x),\quad n\ge K,$$ 的实零点数，其中 $\gamma_j$, $j=0,\cdots ,K$ 为实数，且 $\gamma_0=1$, $\gamma_K\not =0$。我们考虑拉盖尔多项式的四种不同归一化形式：单项式拉盖尔多项式 $\hat L_n^\alpha$，满足 $\mathcal L_n^\alpha(0)=1$ 的多项式 $\mathcal L_n^\alpha=n!L_n^\alpha/(1+\alpha)_n$，标准拉盖尔多项式 $(L_n^\alpha)_n$ 以及 Brenke 归一化 $L_n^\alpha/(1+\alpha)_n$。我们表明，$Q(x)=\sum_{j=0}^K(-1)^j\gamma_j(x)_{K-j}$ 和 $P(x)=\sum_{j=0}^K\gamma_jx^{K-j}$ 在解决此问题中发挥关键作用：前者在第一种情况下，后者在第二、第三和第四种情况下。在特别情况下，如果 $Q$ 的所有零点都是实数且小于 $\alpha+1$，则 $q_n$ 的所有零点都是正数。在其他情况下，如果 $P$ 的所有零点都是实数，则 $q_n$ 的所有零点也是实数。如果 $P$ 有 $m>1$ 个非实零点，则四种情况之间存在重要差异。例如在第一种情况下，$q_n$ 对于足够大的 $n$ 仍只有实零点，但在第四种情况下，$q_n$ 对于足够大的 $n$ 正好有 $m$ 个非实零点。