正交多项式随机线性组合的实零点期望个数

我们研究了正交多项式随机线性组合的实零点期望个数。众所周知，由具有独立同分布高斯系数的单项式张成的 Kac 多项式，其实零点期望个数关于次数 $n$ 仅为 $(2/\pi + o(1))\log{n}$。另一方面，如果基底由 Legendre 多项式（或更一般地由 Jacobi 多项式）给出，则随机线性组合的实零点期望个数为 $n/\sqrt{3} + o(n)$。我们证明了后一种渐近关系对实轴上一大类随机正交多项式普遍成立，并给出了关于实零点期望个数的更一般的局部结果。