具有独立同分布系数的随机调和多项式的平均零点数：精确渐近性

针对 W. Li 和 A. Wei（2009）提出的一个问题，我们研究了从 Kac 系综中采样的随机调和多项式 $p(z) + \overline{q(z)}$ 的（复）零点平均数，即其系数为独立同分布零均值复高斯随机变量。我们建立了精确渐近式，表明当 $\text{deg} p = \text{deg} q = n$ 趋于无穷时，零点平均数渐近于 $\frac{1}{2} n \log n$。我们进一步考虑了限制在复平面不同区域中的零点平均数，从而与经典研究的解析 Kac 多项式情形进行了有趣比较。我们还考虑了具有系数约束的调和多项式的确定性极值问题；利用一种间接概率方法，我们证明了存在具有单模系数的调和多项式，其零点数至少为 $\frac{2}{\pi} n \log n + O(n)$。我们以一列开放问题作结。