从概率视角看调和多项式的价

我们证明存在次数分别为 $n$ 的复多项式 $p(z)$ 与次数 $m<n$ 的复多项式 $q(z)$,使得调和多项式 $p(z) + \overline{q(z)}$ 至少有 $\lceil n \sqrt{m} \rceil$ 个零点。这为 Wilmshurst 猜想(即对所有次数为 $n$ 的多项式 $p$ 与次数为 $m$ 的多项式 $q$,调和多项式 $p(z)+\overline{q(z)}$ 的最大价为 $m(m-1)+3n-2$)提供了一系列新的反例。更广泛地说,这些例子表明,价的界不可能是在 $n$ 上线性、同时在 $m$ 上具有一致增长率的。该结果的证明使用了一种基于估计某类随机调和多项式平均零点数的概率技术。