具有回文块系数的随机余弦多项式的实零点

众所周知，一个随机余弦多项式 $V_n(x) = \sum_ {j=0} ^{n} a_j \cos (j x) , \ x \in (0,2 \pi)$，其系数为独立同分布（i.i.d.）的实值标准高斯随机变量时，（渐近地）具有 $2n / \sqrt{3}$ 个期望实根。另一方面，在构造相依随机多项式的众多方法中，一种是强制系数为回文形式。因此，探究一个系数服从相同正态分布且按固定长度 $\ell$ 的回文块排列的随机余弦多项式（次数为 $n$）有多少个实零点是有意义的。本文中，我们证明此类多项式期望实根数的渐近值为 $\mathrm{K}_\ell \cdot 2n / \sqrt{3}$，其中常数 $\mathrm{K}_\ell$（仅依赖于 $\ell$）大于 1，并可由一个二重积分公式显式表示。也就是说，与系数独立同分布的经典情形相比，此类多项式具有略多的期望实零点。