随机三角多项式实根的期望个数

我们研究了随机三角多项式 $$X_n(t)=u+\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n (A_k\cos(kt)+B_k\sin(kt)), \quad t\in [0,2\pi],\quad u\in\mathbb{R}$$ 的实根期望个数的渐近性，其系数 $A_k, B_k$（$k\in\mathbb{N}$）是均值为零、方差为1的独立同分布随机变量。若 $N_n[a, b]$ 表示 $X_n$ 在区间 $[a,b]\subseteq [0,2\pi]$ 中实根的个数，我们证明 $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\mathbb{E} N_n[a,b]}{n}=\frac{b-a}{\pi\sqrt{3}} e^{-\frac{u^2}{2}}.$$