具有 $ \ell $-周期系数的随机三角多项式的实零点

随机三角多项式 $$T_n(x) = \sum_ {j=0} ^{n} a_j \cos (j x) + b_j \sin (j x), \ x \in (0,2\pi),$$ 在系数为独立同分布实值标准高斯时，其实零点期望个数的大次数渐近已知为 $2n / \sqrt{3}$。在本文中，我们考虑 $T_n$ 系数集上一种截然不同且极端的设定。我们表明，具有 $\ell$-周期独立同分布高斯系数的 $n$ 次随机三角多项式，相比具有独立同分布高斯系数的经典情形，预期具有显著更多的实零点。更确切地说，$T_n$ 的实零点期望个数与 $n$ 成正比，比例常数 $\mathrm{C}_{\ell,r} \in (\sqrt{2},2]$，由一双积分公式显式表示。情形 $r=0$ 被标记为一个特例，因为在此情形下 $T_n$ 渐近获得最大可能的实零点个数。