具有成对相等系数块的随机三角多项式的实零点

众所周知，随机余弦多项式 $V_n(x) = \sum_ {j=0} ^{n} a_j \cos (j x) , \ x \in (0,2\pi)$ 的实零点期望个数在渐近意义下为 $2n / \sqrt{3}$，其中 $a_j$ 为标准高斯独立同分布随机变量。另一方面，先前一些关于依赖系数随机余弦多项式的工作表明，此类多项式在一个周期内至少有 $2n / \sqrt{3}$ 个期望实零点。本文研究两类具有成对相等系数块的随机余弦多项式。首先，我们证明具有固定长度系数块且满足 $A_{2j}=A_{2j+1}$ 的随机余弦多项式拥有与经典情形相同的期望实零点。随后，我们研究仅含两个相等系数块的情形，并表明此情形下相比经典情形可期望显著更多的实零点。