某些高斯随机多项式的斜率交叉期望次数

设 $Q_n(x)=\sum_{i=0}^{n} A_{i}x^{i}$ 为一随机多项式,其中系数 $A_0,A_1,...$ 构成一列零均值高斯随机变量。此外,假设增量 $\Delta_j=A_j-A_{j-1}$, $j=0,1,2,...$ 相互独立,并令 $A_{-1}=0$。这些系数可视为布朗运动的 $n$ 次连续观测。我们研究此类随机多项式与一条未必平行于 x 轴的直线相交的次数。更确切地说,我们分别就 $K$ 为任意非零实常数 $K=o(n^{1/4})$ 以及 $K=o(n^{1/2})$ 的情形,得到方程 $Q_n(x)=Kx$ 的实根期望个数的渐近性质。