随机和的水平交叉

设 $\{\eta_{j}\}_{j = 0}^{N}$ 为独立同分布的复正态随机变量序列,其均值为零、方差为 $\{\sigma_{j}^{2}\}_{j = 0}^{N}$。设 $\{f_{j} (z)\}_{j = 0}^{N}$ 为在实轴上取实值的全纯函数序列。本研究旨在考察随机和 $\sum_{j = 0}^{N} \eta_{j} f_{j} (z)$ 穿越复水平 $\boldsymbol{K} = K_{1} + i K_{2}$ 的次数,其中 $K_{1}$ 与 $K_{2}$ 为独立于 $z$ 的常数。更具体地,我们建立了复零点期望密度函数的精确公式。随后我们将问题依据布朗运动的连续观测重新表述。我们进一步回答了关于具有非零均值系数的复零点期望个数的基本问题。