雅可比和的等分布

设$\mathbf{F}_q$为含$q$个元素的有限域。我们证明，对每个固定的非平凡乘法特征标$\eta$，当$\chi$取遍所有异于$\eta^{-1}$的非平凡乘法特征标且$q\rightarrow+\infty$时，归一化雅可比和$J(\chi,\eta)/\sqrt{q}$在单位圆上成为等分布的。此前，Katz与Zheng通过同时变动$\chi$与$\eta$得到了类似的等分布。另一方面，当$(\chi,\eta)$取遍$\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\subseteq(\widehat{\mathrm{F}^*})^2$且对任意$\varepsilon>0$满足$|\mathcal{X}|>q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$与$|\mathcal{Y}|>q^\varepsilon$时，我们也得到$J(\chi,\eta)$的等分布。这更新了Lu、Zheng与Zheng近期的工作，他们要求$|\mathcal{X}||\mathcal{Y}|>q\log^2q$。主要依据是Katz关于超几何和的估计。