关于涉及 Beta 函数的行列式的有限域类比

受 L. Carlitz、R. Chapman 与 Z.-W. Sun 关于分圆矩阵工作的启发，本文研究某些涉及有限域上 Jacobi 和的分圆矩阵，它们可视为涉及 Beta 函数的某些矩阵的有限域类比。例如，令 $q>1$ 为素数幂，令 $\chi$ 为 $\mathbb{F}_q$ 的所有乘法特征标群的生成元。则我们证明 $$\det\left[J_q(\chi^i,\chi^j)\right]_{1\le i,j\le q-2}=(q-1)^{q-3},$$ 其中 $J_q(\chi^i,\chi^j)$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的 Jacobi 和。这是 $$\det [B(i,j)]_{1\le i,j\le n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{r=0}^{n-1}\frac{(r!)^3}{(n+r)!},$$ 的有限类比，其中 $B$ 为 Beta 函数。此外，若 $q=p\ge5$ 为奇素数，则我们证明 $$\det \left[J_p(\chi^{2i},\chi^{2j})\right]_{1\le i,j\le (p-3)/2}=\frac{1+(-1)^{\frac{p+1}{2}}p}{4}\left(\frac{p-1}{2}\right)^{\frac{p-5}{2}}.$$