Dirichlet beta 函数在正整数处的 q-模拟的丢番图性质

在本文中，我们定义 Dirichlet beta 函数在正整数处的 q-模拟，其可写为 $\beta_q(s)=\sum_{k\geq1}\sum_{d|k}\chi(k/d)d^{s-1}q^k$，其中 $s\in\N^*$，$q$ 为满足 $|q|<1$ 的复数，$\chi$ 为模 4 的非平凡 Dirichlet 特征。对于奇数 $s$，这些表达式与自守世界相关，特别是与 4 级 Eisenstein 级数相关。由此，借助 Nesterenko 的工作，我们推导出当 $q$ 为代数数且 $0<|q|<1$ 时，数 $\beta_q(2s+1)$ 的超越性。我们的主要结果涉及数 $\beta_q(2s)$ 的性质：我们给出了由 $1,\beta_q(2),\beta_q(4),...,\beta_q(A)$ 在 $\Q$ 上张成的向量空间维数的一个下界，其中 $1/q\in\Z\setminus\{-1;1\}$，$A$ 为偶整数。作为推论，当 $1/q\in\Z\setminus\{-1;1\}$ 时，一方面 $\beta_q(2),\beta_q(4),...$ 中有无穷多个无理数，另一方面 $\beta_q(2),\beta_q(4),..., \beta_q(20)$ 中至少有一个是无理数。