Gross-Koblitz 公式与关于Jacobi和数几乎循环矩阵

本文主要考察循环矩阵 $B_p(k)=\left[J_p(\chi^{ki},\chi^{kj})^{-1}\right]_{1\le i,j\le (p-1-k)/k}$ 的算术性质,其中 $p$ 为奇素数, $1\le k<p-1$ 为 $p-1$ 的一个约数, $\chi$ 为有限域 $\mathbb{F}_p$ 中所有乘性字符的生成器,而 $J_p(\chi^{ki},\chi^{kj})$ 为 $\mathbb{F}_p$ 上的Jacobi和。通过运用Gross-Koblitz公式和一些 $p$ 进制工具,我们首先证明了 $$p^{n-2}\det B_p(k)\equiv (-1)^{\frac{(n-1)(p+n-3)}{2}} \left(\frac{1}{k!}\right)^{n-2}\frac{1}{(2k)!}\pmod {p},$$ 其中 $p-1=kn$。通过建立关于几乎循环矩阵的一些理论,我们显示 $$\det B_p(k)=(-1)^{\frac{(n-1)(p+n-1)}{2}}p^{-(n-1)}n^{n-2}a_p(k).$$ 此处 $a_p(k)$ 为 $\sum_{y\in U_k}(e^{2\pi{\bf i}y/p}-1)$ 的最小多项式中 $t$ 的系数,其中 $U_k$ 为 $\mathbb{F}_p$ 中所有 $k$ 次单位根的集合。另外,对于 $k=1,2$ 我们获得了 $\det B_p(k)$ 的显式表达式。