p 进制（p≡3（mod 4））深度为5的高斯 p 次幂求和的超公差

设 p 为奇素数。定义高斯幂和 $$G_n(p)=\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}(a+bi)^n\in\mathbb Z[i].$$ 我们确定了 G_p(p) 对高次 p 的余数：若 p≡1（mod 4），则 $$G_p(p)\equiv p^2(1+i)\pmod{p^3},$$ 而当 p≡3（mod 4, p≥7）时，我们证明了超公差 $$G_p(p)\equiv -\frac{p^5}{12}(p-1)^2(p-2)\,B_{p-3}\,(1-i)\pmod{p^6},$$ 其中 B_m 表示第 m 个伯努利数。我们还提出了若干由大量计算所暗示的猜想。