关于 $p$ 次循环域与包含 Jacobi 和的循环矩阵

受韦尔关于有限域上射影费马曲线 zeta 函数经典结果的启发，本文研究循环矩阵 $$\det\left[J_p(\chi^{ki},\chi^{kj})\right]_{1\le i,j\le n-1},$$ 的一些算术性质，其中 $p\ge3$ 为素数，$1\le k<p-1$ 为 $p-1$ 的一个约数，且 $p-1=kn$，$\chi$ 为 $\mathbb{F}_p$ 所有乘性字符群的生成器，$J_p(\chi^{ki},\chi^{kj})$ 为 Jacobi 和。例如，设 $\zeta_p\in\mathbb{C}$ 为 $p$ 次原根单位数，$P_k(T)$ 为代数整数 $$\theta_k=\sum_{x\in\mathbb{F}_p,x^k=1}\zeta_p^x$$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式。则我们证明了 $$\det \left[J_p(\chi^{ki},\chi^{kj})\right]_{1\le i,j\le n-1}=(-1)^{\frac{(k+1)(n^2-n)}{2}}\cdot n^{n-2}\cdot x_p(k),$$ 其中 $x_p(k)$ 为 $P_k(T)$ 中 $T$ 项的系数。