费马曲线雅可比簇的根数与 Selmer 群

设 $p$ 为一个奇素数。令 $K$ 为 $p$ 次分圆域，$F$ 为其极大实子域。我们给出费马曲线 $X^p+Y^p=\delta$（其中 $\delta$ 为整数）的雅可比簇根数的一般公式。作为这些一般公式的应用，我们导出了费马曲线雅可比簇族的根数的等分布性。当 $p\nmid \delta$ 时，我们界定了这些雅可比簇的 Selmer 群。此外，若 $p$ 为正则素数且 $K$ 中所有整除 $\delta$ 的素理想在 $K/F$ 中均惰性，则 Selmer 群被显式确定，并且我们验证了这些雅可比簇的 $p$-奇偶性猜想。我们还给出了满足 $p$-奇偶性猜想的费马雅可比簇个数的渐近下界。