数域非阿贝尔扩张中 Selmer 秩的增长

设 p 为一个奇素数，E 为一个数域 k 上的椭圆曲线，F/k 为一个次数为 p 的幂的两倍的伽罗瓦扩张。我们研究 E 在 F 上的 p 幂 Selmer 群的 Z_p-余秩 rk_p(E/F)。我们得到了 rk_p(E/F) 的下界，推广了 [MR] 中适用于二面体扩张的结果。若 K 为 F 中 k 的（唯一）二次扩张，G = Gal(F/K)，G^+ 为 G 中与 F 在 k 上的某个对合的选择可交换的元素构成的子群，且 rk_p(E/K) 为奇数，则我们证明（在温和假设下）rk_p(E/F) ≥ [G:G^+]。作为此结论的一个非常具体的例子，假设 A 为 Q 上带有一个 p 阶有理挠点且无复乘法的椭圆曲线。若 E 为 Q 上在 p 处具有好正则约化的椭圆曲线，使得 E 与 A 均有坏约化的每个素数以奇数阶出现在 F_p^× 中，且 E 的导子的负数不是模 p 的平方，则存在依赖于 A 但不依赖于 E 或 n 的正常数 B，使得对每个 n 都有 rk_p(E/Q(A[p^n])) ≥ B p^{2n}。