对所有 p 均具有 p-Selmer 群增长的椭圆曲线

已知对于 Q 上的每条椭圆曲线，都存在一个二次扩张，使得其秩不增加。对于一大类椭圆曲线，将秩替换为 2-Selmer 群后，同样的结论也成立。然而，我们证明存在大量半稳定椭圆曲线 E/Q，其 2-Selmer 群在每个双二次扩张中都增长，并且对于任意奇素数 p，其 p-Selmer 群在每个 D_{2p}-扩张和每个秩至少为 2 的初等阿贝尔 p-扩张中都增长。我们提供了一个简单的判据，用于判断任意数域上的椭圆曲线是否表现出这种行为。我们还讨论了向其他伽罗瓦群的推广。