秩为 1 的椭圆曲线与秩稳定性
数论
2025-05-23 v1
摘要
对于任意数域的二次扩张 L/K，我们证明存在无限多个数域 K 上的椭圆曲线 E，使得 abelian 群 E(K) 和 E(L) 均具有秩 1。特别是，任意数域上都有无限多个秩为 1 的椭圆曲线。该结果推广了 Koymans-Pagano 和 Alp"oge-Bhargava-Ho-Shnidman 的定理，后者分别用于独立证明 Hilbert 的第十题在任意数域整数环上有负答案。我们的方法不同，因为我们通过专化具有非同构秩 1 家族的椭圆曲线获得椭圆曲线，并计算了所有涉及的秩。
关键词
引用
@article{arxiv.2505.16960,
title = {Rank one elliptic curves and rank stability},
author = {David Zywina},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.16960},
year = {2025}
}