由 Cartier-Manin 矩阵计算 Picard 曲线的 L-多项式

我们研究定义在 $\mathbb{Q}$ 上的广义 Picard 曲线 $C:y^3=f(x)$ 在良好约化素数 $p$ 处的 zeta 函数序列 $Z(C_p,T)$。我们定义一个 9 次多项式 $\psi_f\in \mathbb{Q}[x]$，使得 $\psi_f(x^3/2)$ 的分裂域为 $C$ 的 Jacobian 的 $2$-扭转域。我们证明，除零密度素数子集外，zeta 函数 $Z(C_p,T)$ 由 $C$ 模 $p$ 的 Cartier-Manin 矩阵 $A_p$ 以及 $f$ 与 $\psi_f$ 模 $p$ 的分裂行为唯一确定；我们还证明对 $\equiv 1 \pmod{3}$ 的素数矩阵 $A_p$ 已足够，而对 $\equiv 2 \pmod{3}$ 的素数 $C$ 的广义性假设不必要。证明中一个可能具有独立兴趣的内容是确定了广义 Picard 曲线普通约化素数集的密度。将其与 Sutherland 近期工作结合，我们得到一个实用的确定性算法，使用 $N\log(N)^{3+o(1)}$ 次位运算对几乎所有素数 $p \le N$ 计算 $Z(C_p,T)$。这是针对亏格大于 2 的曲线的首个此类实用结果。