genus 3 曲线的 $L$ -多项式提升

设 $C$ 为 $\mathbb{Q}$ 上的光滑平面四次曲线。Costa、Harvey 和 Sutherland 提供了一个算法，其实现改进了 Harvey 的平均多项式时间算法，用于计算 $C$ 在所有 $p\leq B$ 处（其中 $p$ 为良好约化的奇素数）的 $\bmod p$ 约化结果，即 zeta 函数的分子。该算法在 $O(B\log^{3+o(1)} N)$ 时间内完成，平均每素数 $O(\log^{4+o(1)}p)$ 时间。或者，该算法可在 $O(p^{1/2}\log^2p)$ 时间内处理单个良好约化素数 $p$。虽然该算法可用于计算完整的 zeta 函数，但目前尚无此步骤的实现。在本文中，我们提供了一个算法和实现，用于在 $\mathbb{F}_p$ 上的雅可比上执行群运算，其中 $p$ 为良好约化的奇素数。我们提供了一个 Las Vegas 算法，将 Costa、Harvey 和 Sutherland 的算法的 $\bmod p$ 结果用于计算完整的 zeta 函数。该算法的预期运行时间为 $O(p^{1/2+o(1)})$，在所有输入上的平均运行时间下，依据启发式假设，我们证明了 $O(p^{1/4+o(1)})$ 的平均运行时间界限。我们的提升算法也可用于 genus 3 的超椭圆曲线。