全局函数域上广义Legendre曲线雅可比簇的显式算术

我们研究函数域 $\mathbb{F}_p(t)$ 上仿射模型为 $y^r = x^{r-1}(x + 1)(x + t)$、亏格为 $r-1$ 的光滑射影曲线 $C$ 的雅可比簇 $J$，其中 $p$ 为素数，$r\ge 2$ 为与 $p$ 互素的整数。当 $q$ 是 $p$ 的幂且 $d$ 为正整数时，我们计算 $J$ 在 $\mathbb{F}_q(t^{1/d})$ 上的 $L$-函数，并证明 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想在 $\mathbb{F}_q(t^{1/d})$ 上对 $J$ 成立。当 $d$ 被 $r$ 整除且形如 $p^\nu +1$，并令 $K_d := \mathbb{F}_p(\mu_d,t^{1/d})$ 时，我们写出 $J(K_d)$ 中的显式点，证明它们生成一个秩为 $(r-1)(d-2)$ 的子群 $V$，其在 $J(K_d)$ 中的指数是有限的且为 $p$ 的幂，并证明 $J$ 在 $K_d$ 上的 Tate-Shafarevich 群的次数为 $[J(K_d):V]^2$。当 $r>2$ 时，我们证明 $J$ 的“新”部分在 $\overline{\mathbb{F}_p(t)}$ 上同源于一个维数为 $\phi(r)/2$、自同态代数 $\mathbb{Z}[\mu_r]^+$ 的简单阿贝尔簇的平方。对于满足 $\ell \nmid pr$ 的素数 $\ell$，我们证明对任意 $\overline{\mathbb{F}}_p(t)$ 的阿贝尔扩张 $L$ 有 $J[\ell](L)=\{0\}$。