Artin-Schreier 扩张中阿贝尔簇的算术

我们研究定义在正特征 $p$ 下曲线函数域上的阿贝尔簇，重点关注其在 Artin-Schreier 扩张系中的算术性质。首先，我们证明了在导子具有某种奇偶性条件下，此类阿贝尔簇的 $L$-函数在其函数方程的中心点处具有高阶零点。其次，我们发展了 Berger 构造的一个 Artin-Schreier 变体。这产生了一类新的函数域上的 Jacobian，使得 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想对其成立。第三，我们给出了这些 Jacobian 的 Mordell-Weil 群的秩的公式，该公式用其坏约化纤维的几何以及辅助 Artin-Schreier 曲线的 Jacobian 之间的同态来表示。我们通过计算任意维数 $g$ 的 Jacobian 的显式例子的秩来说明这些定理，展示了在 Artin-Schreier 扩张塔中具有有界秩的 Jacobian 和具有无界秩的 Jacobian。最后，我们计算了一个等平凡椭圆曲线族和一个非等平凡椭圆曲线族的 Mordell-Weil 格。后者展示了一种奇异现象，即格向量之间的角度与有限域上椭圆曲线的点数有关。我们的方法还产生了关于 Artin-Schreier 曲线 Jacobian 的超奇异因子的新结果。