Order-$pq$ Groups and Chebotarev's Theorem: An Uncertainty Principle

设 $p$ 为素数，$\zeta_p$ 为原始 $p$ 次单位根。Chebotarev 定理表明，$p \times p$ 矩阵 $(\zeta_p^{ij})_{i,j=0}^{p-1}$ 的每个二阶子矩阵均为非奇异。本文证明，当 $n=pr$ 为两个互素素数的乘积且 $p$ 为满足在 $\mathbf{Z}_r^*$ 中具有阶 $r-1$ 的充大的素数时，矩阵 $(\zeta_n^{ij})_{i,j=0}^{n-1}$ 的主子矩阵同样满足非奇异性。作为应用，本文在 $n=pr$ 满足上述条件时，对循环群建立了一个不确定性原理。