类群 $\cl^{(p)}\Q(\z_n)$ 的精细结构及 Kervaire–Murthy 猜想 II

存在一个涉及整数群环 $\Z C_{p^n}$ 的 Picard 群的 Mayer-Vietoris 正合列，其中 $C_{p^n}$ 是 p^n 阶循环群，$\zeta_{n-1}$ 是一个本原 p^n 次单位根。该序列的“未知”部分是一个群 $V_n$。$V_n$ 分解为 $V_n\cong V_n^+\oplus V_n^-$，且 $V_n^-$ 已被显式确定。$V_n^+$ 是某个在某种意义下更简单的群 $\mathcal{V}_n$ 的商。1977 年 Kervaire 与 Murthy 猜想：对半正则素数 $p$，有 $V_n^+ \cong \mathcal{V}_n^+ \cong \cl^{(p)}(\Q (\zeta_{n-1}))\cong (\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z})^{r(p)}$，其中 $r(p)$ 是 $p$ 的正则指数。在关于素数 $p$ 的一个附加条件下，Ullom 于 1978 年用 Iwasawa 不变量 $\lambda$ 将 $V_n^+$ 计算为 $V_n^+ \cong (\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z})^{r(p)}\oplus (\mathbb{Z}/p^{n-1} \mathbb{Z})^{\lambda-r(p)}$。在先前论文中我们证明了：对所有半正则素数，$\mathcal{V}_n^+\cong \cl^{(p)}(\Q (\zeta_{n-1}))$，且这些群同构于 $$(\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z})^{r_0}\oplus (\mathbb{Z}/p^{n-1} \mathbb{Z})^{r_1-r_0} \oplus \hdots \oplus (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^{r_{n-1}-r_{n-2}}$$ 对某个序列 $\{r_k\}$（其中 $r_0=r(p)$）。在 Ullom 的附加条件下，我们证明了 $$V_n^+ \cong \mathcal{V}_n^+ \cong \cl^{(p)}(\Q(\z_{n-1})) \cong (\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z})^{r(p)}\oplus (\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z})^{\lambda-r(p)}.$$ 本文中我们证明 Ullom 的附加条件对所有半正则素数均成立，从而上述结果对所有半正则素数成立。