关于Kervaire-Murthy猜想、伯努利数与岩泽数以及$p$进$L$函数的零点

本文的目的是基于M. Kervaire和M. P. Murthy关于素数幂阶循环群 $p^n$ 的整数群环的 $K_0$ 群结构的一些结果，建立岩泽数和伯努利数之间的关系。特别地，我们将证明在广义伯努利数 $B_{1,\omega^{-i}}$ 不被 $p^2$ 整除的假设下，$\lambda_{i}\leq p-1$。这里 $\omega$ 是 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 的泰希米勒特征标。如果 $B_{1,\omega^{-i}}$ 被 $p^2$ 整除，则 $\lambda_{i}=1$。我们将证明 $S_{n,i}\cong \mathbb{Z}/(p^{n+k_i})$，其中 $S_n$ 是域 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 的类群的西洛 $p$ 子群。这里，$\zeta_n$ 是一个本原 $p^{n+1}$ 次单位根，$\varepsilon_{i}$ 是群环 ${\mathbb Z}_{p}[{\rm Gal}(\mathbb{Q} (\zeta_0) /\mathbb{Q})]$ 中的幂等元，$S_{n,i}=\varepsilon_i (S_n)$，而 $k_i$ 是 $B_{1,\omega^{-i}}$ 的 $p$ 进赋值。最后，我们将证明在 $L_p (0, \omega^j)$ 零点的某些条件下，对于偶数 $j$ 有 $k_i \leq 1$ 以及 $v_p (L_p (0, \omega^j))\leq 1$。在整篇文章中，我们假设 $p$ 满足范迪维尔猜想。