关于 Bernoulli 数的非正则素数幂因子

令 $B_n$ ($n = 0, 1, 2, ...$) 表示通常的第 $n$ 个 Bernoulli 数。令 $l$ 为一个正偶数,其中 $l=12$ 或 $l \geq 16$。众所周知,约化商 $|B_l/l|$ 的分子是非正则素数幂的乘积。令 $(p,l)$ 为一个非正则对,满足 $B_l/l \not\equiv B_{l+p-1}/(l+p-1) \modp{p^2}$。我们证明对每个 $r \geq 1$,同余式 $B_{m_r}/m_r \equiv 0 \modp{p^r}$ 有唯一解 $m_r$,其中 $m_r \equiv l \modp{p-1}$ 且 $l \leq m_r < (p-1)p^{r-1}$。序列 $(m_r)_{r \geq 1}$ 定义了一个 $p$-进整数 $\chi_{(p, l)}$,它是某个 $p$-进 zeta 函数 $\zeta_{p, l}$ 的零点,该函数最初由 T. Kubota 与 H. W. Leopoldt 定义。我们给出这些函数的一些性质并给出一些应用。随后我们对 $p$ 小于 1000 的非正则对 $(p,l)$ 给出了 $\chi_{(p, l)}$ 的(截断)$p$-进展开式的若干计算。