素数幂分圆域类群及 Kervaire-Murthy 猜想的精细结构

1977 年，Kervaire 与 Murthy 提出了关于 $K_0 \mathbb{Z} C_{p^n}$ 的三个猜想，其中 $C_{p^n}$ 是阶为 $p^n$ 的循环群，$p$ 为半正则素数。Mayer-Vietoris 正合列给出如下短正合列 $$0\to V_n\to \pic (\mathbb{Z} C_{p^n})\to \cl \mathbb{Q} (\zeta_{n-1})\times \pic (\mathbb{Z} C_{p^{n-1}})\to 0$$ 其中 $\zeta_{n-1}$ 是 $p^n$ 次本原单位根。注入到 $\pic \mathbb{Z} C_{p^n}\cong\tilde{K}_0\mathbb{Z} C_{p^n}$ 中的群 $V_n$，是某个在某种意义下更简单的群 $\mathcal{V}_n$ 的自然商群。两个群都分裂为“正”与“负”部分。虽然 $V_n^-$ 已被充分理解，但对 $V_n^+$ 仍无完整信息。Kervaire 与 Murthy 证明了 $K_0 \Z C_{p^n}$ 与 $V_n$ 和分圆域的类群紧密关联。他们猜想 $V_n^+\cong (\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z})^{r(p)}$（其中 $r(p)$ 为素数 $p$ 的正则指数），且 $\mathcal{V}_n^+\cong V_n^+$，此外 \char\mathcal{V}_n^+\cong \cl^{(p)} \mathbb{Q} (\zeta_{n-1})（类群的 $p$-部分）。在本文中，我们计算了 $\mathcal{V}_n^+$ 并证明了对于所有半正则素数均有 \char \mathcal{V}_n^+\cong \cl^{(p)} \mathbb{Q}(\zeta_{n-1})，这也给出了 $\cl^{(p)} \mathbb{Q}(\z_{n-1})$ 作为阿贝尔群的结构。此外我们得出结论：三个 Kervaire-Murthy 猜想全部成立等价于 Iwasawa 不变量 $\lambda$ 等于 $r(p)$，且这还蕴涵 Iwasawa 不变量 $\nu$ 等于 $r(p)$。