对称群循环指示子的同余

设 $n$ 为正整数，$C_n$ 为对称群 $S_n$ 的循环指示子。Carlitz 证明了如果 $p$ 是素数，且 $r$ 是非负整数，则我们有同余 $C_{r+np}\equiv (X_1^p-X_p)^nC_r \mod{pZ_p[X_1,\cdots,X_{r+np}]}$，其中 $Z_p$ 是 $p$-进整数环。我们证明对于 $p\neq 2$，上述同余模 $npZ_p[X_1,\cdots,X_{r+np}]$ 成立。这使我们能够证明关于 Meixner 多项式的 Junod 猜想。