Fine Selmer 群、Heegner 点与反分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张

设 $E/\mathbb{Q}$ 为一条椭圆曲线，$p$ 为一个素数，$K_{\infty}/K$ 为满足 Heegner 假设的二次虚域 $K$ 的反分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张。在本文中，我们对 $K_{\infty}$ 上的 fine Selmer 群提出了一个猜想。我们还对 $E(K_{\mathfrak{p}_{\infty}})/p$ 中 Heegner 点模的结构提出了一个猜想，其中 $K_{\mathfrak{p}_{\infty}}$ 是 $K_{\infty}$ 中 $p$ 上素元处诸 $K_n$ 的完备化的并集。我们证明了这些猜想是等价的。当 $E$ 在 $p$ 处具有超奇异约化时，我们还证明了这些猜想等价于我们先前工作中的猜想。在 $E$ 于 $p$ 处具有超奇异约化的情况下假设这些猜想成立，我们证明了关于 $K_{\infty}$ 上 Selmer 群结构的若干结果。