Selmer 群与反分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张 II

设 $E/\mathbb{Q}$ 为一条椭圆曲线，$p$ 为 $E$ 具有普通约化的素数，$K_{\infty}/K$ 为满足 Heegner 假设的二次虚域 $K$ 的反分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张。我们给出了关于 $E$ 和 $p$ 的充分条件，以确保 $\text{Sel}_{p^{\infty}}(E/K_{\infty})$ 是秩为 1 的余自由 $\Lambda$-模。我们还证明了这些条件意味着对所有 $n \geq 0$，$\text{rank}(E(K_n))=p^n$ 成立，且对所有 $n \geq 0$，$E/K_n$ 的 Tate-Shafarevich 群的 $p$-准素子群是平凡的。