一个高维Gross-Zagier公式与Selmer群的结构

我们描述了Gross--Zagier公式的Kolyvagin系统论精细化：当有理椭圆曲线 $E$ 在虚二次域 $K$ 上的根数为 $-1$ 时，通过比较Heegner点Kolyvagin系统与Kurihara数来实现。当 $E$ 在 $K$ 上的根数为 1 时，我们首先建立 $E$ 在 $K$ 上 $p^\infty$-Selmer群的结构定理。该描述由某些四元数自守形式族的值给出，这属于二分欧拉系统。通过比较二分欧拉系统与Kurihara数，我们也得到了Waldspurger公式的类似精细化。两种精细化均未施加低解析秩假设。我们还证明了各种“Kolyvagin系统”的非平凡性与在增广理想处局部化的相应主猜想之间的等价性。作为推论，我们得到了（较弱版本的）Heegner点主猜想与反分圆主猜想对任意秩椭圆曲线 $p^\infty$-Selmer群结构的新应用。特别地，在增广理想处局部化的Heegner点主猜想蕴含了Gross-Zagier与Kolyvagin定理的强秩一 $p$-逆定理。