反cyclotomic Iwasawa 理论中的 Kolyvagin 猜想与修补欧拉系统

设 $E/\mathbb{Q}$ 为一条椭圆曲线，$K$ 为一个虚二次域。在某一 Heegner 假设下，Kolyvagin 利用 $K$-CM 点构造了 $E$ 的上同调类，并猜想它们并非全为零。在此猜想条件下，他用其类系统描述了 $E$ 的 Selmer 秩。我们推广 Wei Zhang 的工作，通过考虑模 $p$ 的大幂次的模形式同余，证明了 Kolyvagin 猜想的新情形。此外，我们在一个互补的“确定型”情形（使用某些修正的 $L$-值而非 CM 点）中证明了类似结果，并给出了 Selmer 秩的描述。类似方法也被用于改进关于 Perrin-Riou 的 Heegner 点主猜想的已知结果。我们结果的一个推论是新的逆定理：当剩余表示具有二面体像时，$p$-Selmer 秩一蕴含解析秩一。