一类有限 $p$-群与群代数的正规单位群

设 $p$ 为素数，$\mathbb{F}_p$ 为含 $p$ 个元素的有限域。设 $\mathbb{F}_pG$ 表示有限 $p$-群 $G$ 在域 $\mathbb{F}_p$ 上的群代数，$V(\mathbb{F}_pG)$ 表示 $\mathbb{F}_pG$ 中的正规单位群。假设 $G$ 是由以下中心扩张给出的有限 $p$-群：$$1\longrightarrow \mathbb{Z}_{p^n}\times \mathbb{Z}_{p^m} \longrightarrow G \longrightarrow \mathbb{Z}_p\times \cdots\times \mathbb{Z}_p \longrightarrow 1$$ 且 $G'\cong \mathbb{Z}_p$，$n, m\geq 1$，$p$ 为奇数。本文确定了 $G$ 的结构。并给出了 $V(\mathbb{F}_pG)^{p^l}$ 与 $G^{p^l}$、$\Omega_l(V(\mathbb{F}_pG))$ 与 $\Omega_l(G)$ 之间的关系。此外，给出了 $V(\mathbb{F}_pG)^p\bigcap G=G^p$ 的直接证明。