关于有限群的消失元阶

设 $G$ 为有限群，$p$ 为素数。令 $\mathrm{Vo}(G)$ 表示消失元的阶的集合，$\mathrm{Vo}_{p}(G)$ 为 $\mathrm{Vo}(G)$ 中那些可被 $p$ 整除的消失元阶组成的子集，$\mathrm{Vo}_{p'}(G)$ 为 $\mathrm{Vo}(G)$ 中那些不可被 $p$ 整除的消失元阶组成的子集。Dolfi、Pacifi、Sanus 和 Spiga 证明了若对所有 $a\in \mathrm{Vo}(G)$，$a$ 均不是 $p$-幂，则 $G$ 有正规的 Sylow $p$-子群。在同一批作者另一篇文章中，他们还证明了若 $\mathrm{Vo}_{p'}(G)=\emptyset$，则 $G$ 有正规的幂零 $p$-补。这些结果是著名的 Ito-Michler 和 Thompson 定理的变体。本文研究满足 $|\mathrm{Vo}_{p}(G)|=1$ 的可解群，并证明 $P'$ 是次正规的。这类似于 Isaacs、Mor\'eto、Navarro 和 Tiep 考虑恰有一个可被 $p$ 整除的特征标次数的群的工作。我们还研究满足 $|\mathrm{Vo}_{p'}(G)|=1$ 的某些有限群 $G$，并证明 $G$ 有一个正规子群 $L$ 使得 $G/L$ 是正规 $p$-补且 $L$ 有正规 $p$-补。这类似于 Giannelli、Rizo 和 Schaeffer Fry 近期关于具有少数 $p'$-特征标次数的工作。Bubboloni、Dolfi 和 Spiga 研究了每个消失元对某个整数 $m\geqslant 1$ 均为 $p^{m}$ 阶的有限群。作为推广，我们研究对所有 $a,b\in \mathrm{Vo}(G)$ 满足 $\gcd(a,b)=p^{m}$（对某整数 $m \geqslant 0$）的群。我们还研究其不可约特征标仅在素数幂阶元上消失的有限可解群。