具有少量特征标度数的 $p$-群及其正规子群

若 $G$ 为有限 $p$-群且 $\chi$ 是 $G$ 的一个非线性不可约特征标，则 $\chi(1)\leq |G/Z(G)|^{\frac{1}{2}}$。在文献\cite{fernandez2001groups}中，Fernández-Alcober 与 Moretó 根据 $|G/Z(G)|$ 是否为平方数，得到了有限 $p$-群 $G$ 的特征标度数集与其正规子群之间的关系。本文研究了满足以下条件的有限 $p$-群 $G$：对 $G$ 的任意正规子群 $N$，若 $G'\not \leq N$，则要么 $N\leq Z(G)$，要么 $|NZ(G)/Z(G)|\leq p$，并得到了此类群的若干等价刻画。我们发现，若 $G$ 是满足 $|G/Z(G)|=p^{2n+1}$ 的有限 $p$-群，且 $G$ 满足条件：对 $G$ 的任意正规子群 $N$，要么 $G'\not \leq N$，要么 $N\leq Z(G)$，则 $cd(G)=\{1, p^{n}\}$。我们还发现，若 $G$ 是幂零类不等于 $3$ 且 $|G/Z(G)|=p^{2n}$ 的有限 $p$-群，且 $G$ 满足条件：对 $G$ 的任意正规子群 $N$，要么 $G'\not \leq N$，要么 $|NZ(G)/Z(G)|\leq p$，则 $cd(G) \subseteq \{1, p^{n-1}, p^{n}\}$。