初等 $p$-群的扩张及其在素数指数群分类中的应用

设 $p$ 为素数且 $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。我们借助群扩张数据及其矩阵表示研究具有交换导子群且指数为 $p$ 的有限群。我们证明以下两集合间的一一对应：(i) 指数为 $p$、阶为 $p^{m+n}$、导子群为 $\mathbb{Z}_p^n$ 的 2 类群的同构类；以及 (ii) 在 $\text{GL}_m(\mathbb{Z}_p)$ 的同余作用下 $\text{Gr}(n,\text{AS}_m(\mathbb{Z}_p))$ 的轨道集合 $\text{Gr}(n,\text{AS}_m(\mathbb{Z}_p))/\text{GL}_m(\mathbb{Z}_p)$，其中 $\text{Gr}(n,\text{AS}_m(\mathbb{Z}_p))$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 上阶为 $m$ 的反对称矩阵之 $n$ 维子空间集合。我们应用反对称矩阵束理论描述了所有 $m$ 与 $p$ 下的轨道空间 $\text{Gr}(2, \text{AS}_m(\mathbb{Z}_p))/\text{GL}_m(\mathbb{Z}_p)$。在此基础上，给出 $\text{Gr}(3,\text{AS}_4(\mathbb{Z}_3))/\text{GL}_4(\mathbb{Z}_3)$、$\text{Gr}(4, \text{AS}_4(\mathbb{Z}_3))/\text{GL}_4(\mathbb{Z}_3)$ 与 $\text{Gr}(3, \text{AS}_5(\mathbb{Z}_3))/\text{GL}_5(\mathbb{Z}_3)$ 的轨道完全代表系。由此得到对应指数为 $p$ 的 2 类群的分类。特别地，我们恢复了指数 3 且阶 $\le 3^8$ 的群之分类。