关于 $\mathbb{Z}_p^r\rtimes\mathbb{Z}_p$-扩张的岩泽渐近类数公式

设 $p$ 为奇素数，$F_{\infty,\infty}$ 为数域 $F$ 的一个 $p$-进李扩张，其伽罗瓦群同构于 $\mathbb{Z}_p^r\rtimes\mathbb{Z}_p$，其中 $r\geq 1$。在某些假设下，我们证明了上述 $p$-进李扩张中类群的 $p$-指数增长的一个渐近公式。这推广了Lei先前的一个结果，他在 $r=1$ 的情况下建立了这样的公式。推广Lei结果的一个重要且新颖的要素在于一个有限生成（不一定是挠）$\mathbb{Z}_p[[\mathbb{Z}_p^r]]$-模的渐近公式，我们也将在本文中建立该公式。然后，我们在更严格的假设下继续研究类群 $p$-指数的增长，并表明在我们的非交换 $p$-进李扩张中，存在一个类似于Monsky（针对交换扩张）的精细公式的渐近公式（在特殊情况下）。