代数$\mathbb{Z}_\ell[[\mathbb{Z}_p^d]]$及其在Iwasawa理论中的应用

设$\ell$和$p$为不同的素数，并设$\G$为一个阿贝尔pro-$p$-群。我们研究代数$\L:=\Z_\ell[[\G]]$及$\L$-模的结构。代数$\L$被证明是$\Q_\ell$的分圆扩张的整数环的副本的直积，这诱导了$\L$-模族的一个类似分解。在此族内部，我们定义了Sinnott模，并为其商的阶和秩提供了特征理想和à la Iwasawa公式。当$\G\simeq \Z_p^d$是整体域的扩张的伽罗瓦群时，$\ell$-类群和$\ell$-Selmer群（的对偶）提供了Sinnott模的例子，并且我们的公式极大地扩展了L. Washington和W. Sinnott关于$\Z_p$-扩张中$\ell$-类群的结果。此外，对于正特征的整体函数域，我们使用Stickelberger级数的特殊化在$\L$中定义一个元素，该元素插值Artin $L$-函数的特殊值。利用这个元素和$\ell$-类群的特征理想，我们为此设定提出了一个Iwasawa主猜想，并证明了其在相关$\Z_p$-扩张中的一些特殊情形。