关于 Jacobi 和的分布

设 $\mathbf{F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域。对于 $\mathbf{F}_q^\times$ 的乘法特征标 $\chi_1,\dots, \chi_m$，记 $J(\chi_1,\dots, \chi_m)$ 为 Jacobi 和。Nicholas Katz 和 Zhiyong Zheng 表明，当 $m=2$ 时，若 $\chi_1\chi_2$ 非平凡，则当 $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 遍历 $\mathbf{F}_q^\times$ 的所有非平凡乘法特征标且 $q\to \infty$ 时，归一化 Jacobi 和 $q^{-1/2}J(\chi_1,\chi_2)$ 在单位圆上渐近均匀分布。本文证明了 $m\ge 2$ 时的类似性质。更一般地，我们证明当 $\chi_1,\dots, \chi_m$ 遍历 $\mathbf{F}_q^\times$ 的任意非平凡乘法特征标集（其中两个集合足够大）且 $\chi_1\dotsm \chi_m$ 非平凡时，归一化 Jacobi 和 $q^{-(m-1)/2}J(\chi_1,\dots,\chi_m)$ 在单位圆上渐近均匀分布。$m=2$ 的情形回答了 Shparlinski 的一个问题。